[알고리즘 구현으로 배우는 선형대수] #7. 기저와 차원

3차원 현실 생활도 버거운데 ..난 2D 캐릭터가 딱 맞는데...

여튼 n차원을 ..가보자...

 

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#7. 기저와 차원

 

1. 벡터 공간

개념

• 벡터의 덧셈과 스칼라곱이 정의된 공간으로 선형공간임🤔.. 이라 하면 뭔말인가 싶은데 각 차원마다 기저벡터가 있고, 이에 대해 n을 곱하거나 벡터 간 더한 값으로 공간이 정의되기 때문에 위와 같은 정의가 된 것으로 보임 
• 벡터 공간 안에서는 벡터의 길이, 방향을 구분하고 비교할 수 없음 (이는 추후 내적공간에서 확인) 

 

벡터 공간의 공리

• 공간 V에 속하는 벡터 u,v에 대해서 두 벡터의 합 u+v도 공간V에 속한다
• a가 임의의 스칼라이고 벡터 u가 공간 V에 속하면 au도 속한다

차원에 따른 벡터 

• 1차원일 경우 원점 기준으로 +2, -2 등 하나의 원소로 구성됨
• 2차원일 경우 (x,y)로 표기됨 
• 3차원일 경우 (x,y,z)로 표기됨 

 

유닛벡터 

• 3차원일 경우 i=(1,0,0), j=(0,1,0), k =(0,0,1) 로, 차원의 벡터는 유닛 벡터의 선형 조합으로 나타낼 수 있음 

 

부분 공간(subspace)

• 벡터 공간의 일부분 
• 3차원에서 선이나 면은 3차원 공간의 부분공간임 
• Span
  
  • 전체 벡터 공간이 3차원이고 S라는 2개의 기저 벡터 집합이 있을 때,
  • S에 속하는 기저 벡터들로 구성되는 부분 공간을 W라 정의하면
  • S는 부분공간 W를 span한다고 말함 

2. 선형 변환

두 벡터 공간 사이의 함수 🤔...로 

x라는 벡터에 A를 곱해서 x'로 변환된 경우, 행렬 A를 선형변환이라 할 수 있음 

e.g. 2*1 행렬 앞에 3*2행렬을 곱하면 3*1 행렬이되어 차원이 변환됨 

3. 선형 독립

선형 조합

벡터 w = a1*u1 + a2*u2 + ...an*un (a=스칼라, u=유닛벡터)  

• (5,3) = 5*(1,0) + 3*(0,1) 

선형 독립

A가 벡터공간 S의 벡터들의 집합일때, A에 속하는 벡터를 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현할 수 없을 때 A를 선형 독립이라고 표현 

• (2,0,0), (0,1,0), (0,0,3) → 각 벡터를 표현할 때 다른 벡터를 사용할 수 없고 세계의 좌표 축이 필요함 

선형 종속 

A가 벡터공간 S의 벡터들의 집합일때, A에 속하는 벡터를 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현할 수 있을 때 A를 선형 종속이라고 표현 

• (2,0,1), (0,2,-1),(4,3,-1) 일때 2*(2,0,1) + 3*(0,2,-1) = (4,3,-1)임. 이 때 세 벡터는 한 면으로 나타낼 수 있으므로 종속. 

 

4. 기저

정의

벡터 공간을 구성하는 선형독립인 벡터들을 의미함 

2차원의 경우, (x,0), (0,y) 형태라면 기저 벡터가 될 수 있으나 계산 편의를 위해 (1,0),(0,1) 두 기저 벡터의 선형조합으로 벡터 공간을 구성

 

기저와 벡터공간

벡터공간S의 임의의 기저를 {s1,s2,...sn}이라 할때

• n개가 넘는 벡터가 만드는 집합은 선형 종속임
• n개 미만이 만다는 집합은 벡터 공간 S를 생성할 수 없음
• 벡터 공간의 모든 기저 벡터의 개수는 동일함 
  • 3차원에서는 3개의 기저벡터가 필요

5. 차원

차원이란 해당 공간을 구성하는 기저 벡터의 개수임 

• 3차원에는 3개의 기저가 필요하며 3개 이상일 경우 한개 이상의 기저는 다른 기저의 선형종속임 

6. 행공간 열공간 영공간

행렬은 행 벡터, 열벡터의 집합으로 볼 수 있음

• 행 공간 : 행 벡터로 span 할 수 있는 공간 
• 열 공간 : 열 벡터로 span 할 수 있는 공간 

 

• 영공간 : 행렬(선형변환)A가 주어질때, Ax=0을 만족하는 해(x) 공간으로 이를 만족하는 모든 벡터 x의 집합 

행렬A의 행공간을 n차원, 열공간을 m차원이라 했을 때 행공간과 열공간의 차원은 동일한 r임 

행렬A는 행공간에  존재하는 벡터 x를 행렬 A의 열공간에 있는 벡터 b로 변환한다고 하면, A의 영공간의 차원은 n-r, A의 전치행렬인 At의 영공간의 차원은 m-r이다. 

 

성질

• 기본행연산은 행렬의 영공간, 행공간을 변화시키지 않는다.
• 행렬 A의 행공간과 열공간의 차원은 동일함  

 

7. 랭크와 널리티

개념

• 랭크 : 행렬 A의 행공간, 열공간의 공통 차원을 Rank라고 함
  •  rank(A) = dim(A의 행공간) = dim(At의 열공간) = rank(At)
  • 서로 독립인 행 or 열의 개수로 구할 수 있음 
• 널리티 : 행렬 A의 영공간의 차원을 행렬 A의 널리티라고 함 
  • 행렬 A가 n개의 열을 가진 행렬일때 rank(A) + nullity(A) = n 

 

 

아직 개념이 약간 아리까리한데, 다행히 이해하기 쉽게 풀어준 블로그가 있다..! 천사님..감사합니다...

시간날때 아래 블로그 글 정독하면 랭크, 널리티까지는 충분히 이해될 것 같다.

 

행렬이란 무엇인가? (Matrix in Mathematics)