[알고리즘 구현으로 배우는 선형대수] #6. 역행렬

역행렬까진 쉽죠...기저 차원이 얼탈뿐...

 

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#6. 역행렬

역행렬의 개념 

행렬 A의 역행렬 B는 AB = I를 만족한다. 즉 행렬곱한 결과가 단위 행렬I가 되는 것을 의미한다. 

단 역행렬을 구하고자 하는 행렬의 행렬식이 0일 경우 역행렬은 존재하지 않음 

 

• 가역행렬 : 역행렬이 존재(유일), 행렬식 !=0
• 특이행렬 : 역행렬이 없음, 행렬식 = 0 

 

역행렬 계산

2*2일때 

A = [[a,b],[c,d]]일때, 

먼저 행렬식 !=0확인한 다음 좌측과 같이 계산 

 

n*n일때 

1. 각 원소 별 여인수(Cij)를 구함

2. 여인수로 이뤄진 여인수 행렬을 구함 

3. 여인수 행렬의 전치행렬(transpose)인 행렬 A의 수반행렬(adj)을 구함

3. 행렬식을 구한 다음 (1/det(A)) * adj(A)로 역행렬 계산 

정사각 행렬의 거듭 제곱

• A**0 = I
• An*Am = A(n+m)
• (An)m = Anm

역행렬의 성질 

• 역행렬의 거듭제곱 
  • A**-n = (A**-1)**n
• 역행렬과 전치행렬
  • (A**-1)**T = (A**T)**-1
• 역행렬과 행렬식
  • det(A**-1) = 1/det(A). 즉 A의 역행렬의 행렬식은 A행렬식의 역수 

 

파이썬 실습 

#1. 넘파이 

import numpy as np
A = np.array([[3,2,0],[-1,-3,6],[2,3,-5]])
invA = np.linalg.inv(A)
#print(A)
#print('------')
#print(invA)

#2. 함수로 구현하기...인데 복잡하니까 그냥..넘파이로 하자...

def inv(A):
  n = len(A)
  x = deepcopy(A)

  #여인수행렬만들기 
  C=[]
  for i in range(0,n):
    row_C = []
    #전체 행렬에서 i행 제외한 부분 행렬 인덱스 
    idx_r = list(range(0,n))
    idx_r.remove(i)
	#전체 행렬에서 j행 제외한 부분 행렬 인덱스 
    for j in range(0,n):
      idx_c = list(range(0,n))
      idx_c.remove(j)
      #부분행렬
      M=[]
      for k in idx_r:
        row_M=[]
        for l in index_c:
          val=X[k][l]
          row_M.append(val)
        M.append(row_M)
      #부분행렬 행렬식 
      Mij = det_rec(M)
      #여인수 구하기
      Cij = ((-1)**(i+j)*Mij)
      row_C.append(Cij)
    #여인수행렬 구하기 
    C.append(row_C)
  #수반행렬 만들기 
  adj = transpose(C)
  res = scalar_mul(1/det_rec(X),adj)

  return res