#6. 실수값에서의 변수 변환

 

변수변환을 알려면 자코비안행렬을 알아야한다...물론 난 모름...

 

⭐️기억해야 할 것 

 

고무밴드에 잉크를 인쇄했을 때 면적이 a배 넓어지면 잉크의 농도는 1/a배로 변했다 

 

Case1. 가로로만 or 세로로만 늘려보자 

확률변수 X,Y를 Z=2X, W=Y로 변환했을 때, 

 

f_Z,W(z,w) = f_Z,W(2x,y) 이므로 f_X,Y(x,y) = f_X,Y(z/2,w)

 

X,Y의 면적이 X방향으로 2배 늘어났으므로 밀도는 1/2배로 감소됨 

 

그러므로

f_Z,W(z,w) = 1/2 * f_X,Y(x,y) =  1/2 * f_X,Y(z/2,w)

 

세로의 경우에도 이와 같은 방식으로 계산 

 

 

Case2. 비스듬하게 즉 가로 세로로도 다 늘려보자 

확률변수 X,Y를 Z=3X+Y, W=X+2Y로 변환했을 때, 

 

X = (2Z-W)/5, Y=(3W-Z)/5 이므로 

(x,y) = (2z-w/5, 3w-z/5)가 변환후의 위치 z,w에 대응하는 원래의 위치가 됨 

 

원래의 밀도

f_X,Y(2z-w/5, 3w-z/5)

 

변화량

넓이가 5배 늘어났으므로 밀도는 1/5 (*변화량 공식은 아래 선형변환에서 확인)

 

그러므로 

 

f_Z,W(z,w) = f_X,Y(2z-w/5, 3w-z/5) * 1/5 

 

⭐️Generalization1. 선형변환 

확률변수 X,Y를 Z=aX+bY, W=cX+dY로 변환 시

 

벡터와 행렬을 사용했을 때 

((Z),(W)) = ((a,b),(c,d)) * ((X),(Y)) 

 

이 때 면적의 변화량은 행렬식의 절대값을 취하면 됨 

그러므로 

 

f_Z,W(z,w) = (1/|det|) * f_X,Y(x,y) 

이 때 x,y는 A^(-1)*((z),(w))

 

Case3. 휘어보자 

확률변수 X,Y를 Z=X*e^Y, W=Y 형태로 굽힌다면...?^^..?

 

X = Z*e^(-w), Y=W 이므로, (x,y) = (z*e^(-w), y)에 대응된다 

면적의 변화량은 

z = x * e^y 이므로 e^y배 면적이 확대되는 것을 알 수 있음 

 

그러므로 

f_Z,W(z,w) = (1/e^w) * f_X,Y(z*e^(-w), w) 

⭐️Generalization2. 1대1의 비선형변환 

확률변수 X,Y를 Z=g(X,Y), W=h(X,Y) 라는 임의의 변환을 시행한다고 가정 

 

(x,y)를 (z,w)로 옮기는 변환에서 각 점 (x,y)의 확대율은 자코비안 행렬식의 절대값으로 나타낼 수 있음

 

간단하게 자코비안행렬은 벡터를 벡터로 미분하는 것을 의미.

d(z,w) / d(x,y) = (((dz/dx),(dz/dy)), ((dw/dx),(dw/dy))) 이의 행렬식 절댓값.. 

 

나무위키 줍줍..좀더 쉬운 예시 찾고 싶었으나...못찾음..